Paradoja del cumpleaños: 23 personas bastan
Última actualización: 9 de noviembre de 2026
Si te dicen que en un salón de 23 personas es más probable que no que dos cumplan años el mismo día, casi nadie lo cree a la primera. Pero es matemática exacta, no una trampa: la probabilidad es de aproximadamente 50.7 %. A esto se le llama la paradoja del cumpleaños, aunque en rigor no es una paradoja sino un resultado que choca con la intuición. Esta guía explica por qué ocurre, da la tabla completa y muestra dónde aparece en la vida real, de los sorteos a los identificadores únicos.
La pregunta y la respuesta que sorprende
La pregunta es: ¿cuántas personas necesitas reunir para que la probabilidad de que al menos dos compartan cumpleaños pase del 50 %? Casi todos estiman un número grande, cercano a 180 (la mitad de 365). La respuesta correcta es 23. Con 23 personas la probabilidad es de 50.73 %; con 30 sube a 70.6 %; con 50, a 97.0 %; y con 70 es de 99.9 %, es decir, prácticamente segura.
La intuición falla porque pensamos en "alguien que coincida conmigo", y eso sí requiere muchas personas (más abajo se calcula). El problema real pregunta por cualquier pareja dentro del grupo, y el número de parejas crece mucho más rápido que el número de personas.
Por qué ocurre: cuenta las parejas, no las personas
En un grupo de 23 personas hay 23 × 22 ÷ 2 = 253 parejas distintas, y cada una es una oportunidad de coincidir. Con 10 personas son 45 parejas; con 50 personas, 1 225. El número de oportunidades crece con el cuadrado del tamaño del grupo, no de forma lineal.
La forma más sencilla de calcular la probabilidad es usar el complemento: la probabilidad de que NADIE coincida. La primera persona tiene 365 días posibles; la segunda debe evitar el de la primera (364 de 365 opciones), la tercera debe evitar los dos anteriores (363 de 365), y así sucesivamente. Se multiplican esas fracciones y el resultado es la probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos; se resta de 1 y queda la probabilidad de al menos una coincidencia. Con 23 personas, esa probabilidad de que todos sean distintos baja a 49.3 %, y por eso la de coincidencia pasa de 50 %.
| Personas en el grupo | Parejas posibles | Probabilidad de al menos una coincidencia |
|---|---|---|
| 10 | 45 | 11.7 % |
| 20 | 190 | 41.1 % |
| 23 | 253 | 50.7 % |
| 30 | 435 | 70.6 % |
| 40 | 780 | 89.1 % |
| 50 | 1 225 | 97.0 % |
| 57 | 1 596 | 99.0 % |
| 70 | 2 415 | 99.9 % |
Lo que NO es la paradoja: coincidir con una persona concreta
Si en cambio preguntas cuántas personas necesitas para que haya al menos una con TU cumpleaños, la respuesta es mucho mayor: 253 personas para llegar a un 50 % (y es una coincidencia curiosa que 253 sea también el número de parejas de un grupo de 23). Aquí cada persona nueva solo tiene una oportunidad de coincidir contigo, no con todas las demás.
Esa diferencia es el corazón de la paradoja: "alguien coincide con alguien" es un evento mucho más probable que "alguien coincide conmigo". En sorteos, en bases de datos y en criptografía, casi siempre importa la primera pregunta.
Qué se supone en estos números
La tabla asume dos simplificaciones: que los 365 días son igual de probables y que no existen los nacidos el 29 de febrero. En la realidad los nacimientos no se reparten de forma perfectamente uniforme (hay épocas del año con más nacimientos que otras). Matemáticamente, cualquier desviación respecto a la uniformidad hace que la probabilidad de coincidencia sea ligeramente mayor, no menor, así que el 50.7 % con 23 personas es en la práctica un valor ligeramente conservador. Incluir el 29 de febrero lo reduce muy poco.
Dónde aparece en la práctica: colisiones
El mismo cálculo, cambiando 365 por el número de valores posibles, dice cuándo es probable que dos elementos "elegidos al azar" se repitan. Cuando eliges varios elementos al azar de un conjunto, las repeticiones llegan mucho antes de lo que parece. Por eso un sorteo con números de boleto al azar tiene colisiones más seguido de lo esperado, y por eso los identificadores aleatorios necesitan espacios enormes.
| Situación | Valores posibles | Elementos | Probabilidad de al menos una repetición |
|---|---|---|---|
| Boletos con número aleatorio | 1 000 | 10 | 4.4 % |
| Boletos con número aleatorio | 1 000 | 30 | 35.6 % |
| Códigos aleatorios | 10 000 | 100 | 39.1 % |
| UUID v4 (122 bits aleatorios) | ≈5.3 × 10³⁶ | ≈2.7 × 10¹⁸ | 50 % (aprox.) |
Qué hacer con esto
Si sorteas con números aleatorios y las repeticiones son un problema (por ejemplo, boletos que deben ser únicos), no confíes en que "no se repetirán": o los generas y descartas duplicados, o usas un espacio de valores mucho más grande que el cuadrado de cuántos necesitas. Una regla práctica: para mantener la probabilidad de colisión baja, el número de valores posibles debería ser como mínimo del orden del cuadrado de los elementos que piensas generar.
Y si quieres comprobar la paradoja por tu cuenta, genera grupos de 23 fechas o números al azar con cualquier generador aleatorio y cuenta cuántos grupos tienen al menos una repetición: con suficientes repeticiones del experimento, el porcentaje se acerca a 50 %.
Preguntas frecuentes
- ¿Cuántas personas se necesitan para que haya más de 50 % de probabilidad de coincidencia de cumpleaños?
- Solo 23. Con 23 personas la probabilidad de que al menos dos compartan cumpleaños es de aproximadamente 50.7 %, suponiendo 365 días equiprobables.
- ¿Por qué parece tan poco intuitivo?
- Porque pensamos en que alguien coincida con nosotros, y no en cualquier pareja del grupo. Con 23 personas hay 253 parejas posibles, y cada una puede coincidir.
- ¿Cuántas personas hacen falta para que alguien comparta MI cumpleaños con un 50 % de probabilidad?
- Unas 253 personas. Es una pregunta distinta: aquí cada persona nueva solo se compara contra una fecha fija, la tuya.
- ¿Cambia el resultado si los nacimientos no son uniformes en el año?
- Sí, pero en la dirección contraria a la que muchos piensan: cuanto menos uniforme es la distribución, mayor es la probabilidad de coincidencia. Por eso el valor de 50.7 % es ligeramente conservador.
- ¿Qué tiene que ver con los sorteos o los identificadores únicos?
- Es el mismo cálculo: cuando eliges valores al azar de un conjunto de d posibilidades, las repeticiones se vuelven probables alrededor de la raíz cuadrada de d, mucho antes de agotar el conjunto. Por eso un identificador de 122 bits aleatorios (como UUID v4) tiene colisión probable recién tras unos 2.7 × 10¹⁸ valores.